Тарасенко,

ORG100H открыл новую тему с заголовком в форуме .

----------------------------------------------------------------------
http://ru.wikipedia.org/wiki/Риман,_Бернхард, как математик, широко известен, как человек, обобщивший эвклидову геометрию в свою http://www.femto.com.ua/articles/part_2/3454.html. Выдержка из http://ru.wikipedia.org/wiki/Риман,_Бернхард#.D0.9D.D0.B0.D1.83.D1.87.D0.BD.D0.B0.D1.8F_.D0.B4.D0.B5.D1.8F.D1.82.D0.B5.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D0.BE.D1.81.D1.82.D1.8C:
Раскрывающийся текстРиман обобщил гауссову теорию поверхностей на многомерный случай; при этом впервые появился тензор кривизны и другие понятия римановой геометрии. Существование метрики, по Риману, объясняется либо дискретностью пространства, либо некими физическими силами связи — здесь он предвосхитил общую теорию относительности. Альберт Эйнштейн писал: «Риман первый распространил цепь рассуждений Гаусса на континуумы произвольного числа измерений, он пророчески предвидел физическое значение этого обобщения евклидовой геометрии».[2]

Риман также высказал предположение, что геометрия в микромире может отличаться от трёхмерной евклидовой [3]:

Эмпирические понятия, на которых основывается установление пространственных метрических отношений,— понятия твёрдого тела и светового луча, по-видимому, теряют всякую определённость в бесконечно малом. Поэтому вполне мыслимо, что метрические отношения пространства в бесконечно малом не отвечают геометрическим допущениям; мы действительно должны были бы принять это положение, если бы с его помощью более просто были объяснены наблюдаемые явления.

В другом месте этой же работы Риман указал, что допущения евклидовой геометрии должны быть проверены также и «в сторону неизмеримо большого», то есть в космологических масштабах.[4] Глубокие мысли, содержащиеся в выступлении Римана, ещё долго стимулировали развитие науки.
http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/4831/РИМАНА: если ряд, члены к-рого являются действительными числами, сходится, но не абсолютно, то каково бы ни было число A, можно так переставить члены этого ряда, что сумма получившегося ряда будет равна А . Кроме того, члены ряда можно так переставить, что его сумма будет равна одной из наперед заданных бесконечностей со знаком "+" или "-" , а также так, что его сумма не будет равна ни +∞ , ни -∞ , но последовательность его частичных сумм будет бесконечно большой, и, наконец, так, что последовательность его частичных сумм не будет иметь ни конечного, ни бесконечного предела.
http://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Римана_об_условно_сходящихся_рядах.

В общем, в переводе на человеческий язык, Риман утверждает:
а) в некоторых бесконечных рядах перестановками и группировками его членов можно добиться того, что ряд будет сходится к какому угодно значению.
-И-
б) такой ряд сходится (но: условно, не абсолютно).

К примеру, возьмем такой ряд, который рассматривал Риман:
(IMAGE: https://lh4.googleusercontent.com/_-zJU … ann-01.png)
сумма этого ряда сходится, к ln2
поиграем перестановкой тех же слагаемых:
(IMAGE: https://lh5.googleusercontent.com/_-zJU … ann-02.png)
Вычисленные в скобках элементы дают новый ряд:
(IMAGE: https://lh3.googleusercontent.com/_-zJU … ann-03.png)
Сумма этого ряда есть половина исходного, то есть, ln2/2
Если мы сложим два бесконечных ряда и снова поставим скобки, то после вычисления получим новый ряд, и он будет сходится к новому значению.

Возьмем книгу уважаемого мной автора, Понтрягин Л.С. Знакомство с высшей математикой. Анализ бесконечно малых. — М.: Наука, 1980. 256 с. — 45 коп.:

«По мере того как развивалось дифференциальное и интегральное исчисление, возникло и стало играть очень большую роль еще одно новое понятие. Это бесконечный ряд, т. е. сумма бесконечного числа слагаемых, которую мы запишем в виде:

(IMAGE: https://lh3.googleusercontent.com/_-zJU … ann-04.png) »

И далее Понтрягин приводит гораздо более простой пример:
«(IMAGE: https://lh4.googleusercontent.com/_-zJU … ann-05.png)

Если позволить себе оперировать с этой суммой, как с обычной конечной суммой, то можно комбинировать ее члены, образуя частичные конечные суммы, а затем складывать полученные суммы вместе. Таким образом, можно комбинировать члены ряда попарно, складывая каждый член нечетного номера со следующим членом четного номера. Каждая такая сумма равна нулю, и, таким образом, мы приходим к заключению, что сумма ряда равна нулю. Но если комбинировать члены по-другому, выделив первое слагаемое отдельно, а затем складывая четное слагаемое со следующим нечетным, то каждая такая сумма будет равна нулю, и у нас останется лишь первый член, так что сумма ряда будет равна 1. Отсюда видно, что обращаться с бесконечными рядами совершенно непринужденно, как с конечными суммами, невозможно. Необходимо прежде всего точно определить, что следует понимать под суммой ряда. Для этого точного описания составляют так называемые предварительные конечные суммы.»

Понтрягин предлагает рассмотреть, например, такие предварительные конечные суммы:
1–1+1-1+1=1 ,однако:1-(1+1)-(1+1)=-3 .Здесь Наши Математики утверждают, что мы получили предварительные ряды с разными суммами(?) и одинаковыми слагаемыми(?).

Приступим теперь к разбору утверждений Наших Математиков. Поставим вопрос: на каком основании утверждается, что ряды вида (IMAGE: https://lh3.googleusercontent.com/_-zJU … ann-06.gif)[Риман] или (IMAGE: https://lh4.googleusercontent.com/_-zJU … ann-07.gif)[Понтрягин] это -сумма-?

Немного поразмышляв, мы придем к выводу, что оснований может быть два.
1. Утверждающим ничего не известно об операции, обратной к сложению, операции вычитания.
2. Определение такой операции существует, и утверждающие его знают, но нахождение результата a выражения вида 1–1+1-1+1=a ошибочно подчиняют законам операции сложения и результат ошибочно именуют "сумма".

Ниже будет показана справедливость утверждения 2.

Возражение, таким образом, будет заключаться в следующем. Обратимся к ряду, которым занимался Риман. Результатом его "исследования" было заключение, что перестановками и сортировками из этого ряда можно получить любую сумму(?). И это противоречие получило известность как теорема(!) Римана. На каком же основании Риман, Понтрягин, ... утверждают, что перестановками -можно- заниматься? В математике только единственное основание для этого: подчинение закону ассоциативности. На каком основании Риман, и прочие утверждали (и утверждают до сих пор в нашей высшей школе), о -сумме- как результате для смешанной операции (композиции операций)?

В предварительных конечных суммах мы имеем дело чисто с арифметикой. Кажется странным, и почти невероятным, но иной причины для объяснения, на основании чего Наши Математики считали и считают, что перестановки в ряде вида (IMAGE: https://lh3.googleusercontent.com/_-zJU … ann-06.gif)[Риман] или (IMAGE: https://lh4.googleusercontent.com/_-zJU … ann-07.gif)[Понтрягин] допустимы, я найти не могу: причина — они не знали, что вычитание не ассоциативно.

Операция вычитание имеет четкое определение. Из солидного пятитомного издания, под редакцией директора математического института им.Стеклова, Математическая энциклопедия, Изд.: Советская энциклопедия, ред.: Виноградов И.М., 1977—1985гг., стр.828:

(IMAGE: https://lh4.googleusercontent.com/_-zJU … em-828.png)

ремаркаЗаметим попутно, насколько далеко пойдут следствия такого незнания. Практически в любом учебник по высшей математике понятия "разность" значений функции и "разность" значений аргумента полагаются в основу при введении понятия предела функции в точке. В этих основаниях лежит операция, обратная сложению, вычитание. Именно дифференциальная геометрия была основным предметом изучения Римана.

Сумма это -результат операции- сложения .
Разность это -результат операции- вычитания, которая есть обратная к операции сложения.

Если в отношении сложения закон ассоциативности бесспорен, то в отношении вычитания этот закон может быть опровергнут единственным контрпримером.

Проверим парочку частных утверждений:
(10-3)-3=4
10-(3-3)=10

(10-3-3)-3=1
(10-3)-(3-3)=7и т.д., закон ассоциативности не выполняется.

Однако можно предположить, что некто станет утверждать (на одном из форумов так и произошло), будто в левом выражении равенства: 1–1+1-1+1=1"нет никакого вычитания", поскольку это выражение можно представить равносильным:1+(–1)+1+(-1)+1=1Это возражение несостоятельно.

Вначале покажем, что вычитание не ассоциативно, но не контрпримером, который лишь останавливает ошибочные рассуждения, но мало что двигают в математике, а потому покажем это прямым логическим рассуждением.

а), б), в) будут основания для моего рассуждения. Надеюсь, никто не станет отрицать:

    а) свойство у чисел иметь количественную характеристику, известную как модуль числа;
    б) свойства пропорций для чисел (Эвклид);
    в) существование определения вычитания (энциклопедия под ред.Виноградова, см. выше по теме).

Дадим определение свойству, вычислив которое, можно однозначно установить, операция сложения, или вычитания, произведена над данной тройкой чисел a,b,c.

Определение: в операции "вычитание" модуль результата операции (разность) всегда меньше суммы модулей уменьшаемого и вычитаемого. В операции "сложение" имеется равенство между суммой модулей слагаемых и суммой.

То есть:

|a| - |b| = |c| < |a| + |b| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10)

|a| + |b| = |c| = |a| + |b| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (20)
где: c — результат операции (разность), a — уменьшаемое, b — вычитаемое, в условии (10);
c — результат операции (сумма), a,b — слагаемые, в условии (20).

Пример. Пусть a = -3 , b = -2. Тогда, по определению вычитания,

(-3)-(-2)=-1
Что удовлетворяет условию вычитания (10).

(-3)+(-2)=-5
Что удовлетворяет условию операции сложения (20).

Последнее равенство равносильно, после умножения на -1 на основании свойств пропорций, равенству
3+2=5, и мы устанавливаем прямое соответствие с определением операции сложения.

Подобное же действие, умножение на -1, примера с вычитанием, также дает равносильное равенство, и устанавливаем прямое соответствие с определением операции вычитания:
3-2=1Q.E.D._____________________________________________
На основании этого свойства, в предварительной конечной сумме ряда (D), в равенстве

1-1+1-1+1=1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (30)

сгруппировав всеми возможными способами слева два члена,

(1-1)+(1-1+1)=1 , 1-(1+1-1+1)=1 , ...

на основании вычисления результатов проверки условий (10) и (20) получим несовместимые утверждения для разных способов группировки, что означает, выражение (30) не сумма и не разность. Назовем его суммарно-разностным.

Можно доказать, что ассоциативный закон не выполняется для вычисления суммарно-разностного выражения. Это равносильно, что перестановки и группировки в суммарно-разностных рядах не имеют оснований; утверждения, что производится вычисление предварительных сумм в таком ряде не имеет основания, значок суммы для этого ряда некорректен. Общеизвестное же название такого ряда "знакопеременный ряд суммы членов..." свидетельствует о непонимании арифметических действий с числами.

Поиск в Интернете показывает, что перестановки и группировки в суммарно-разностных рядах являются экзаменационными вопросами, и от студентов требуют уметь делать то, на что у экзаменующих нет никаких оснований в арифметике: http://dxdy.ru/topic44895.html

_____

В арифметике всего навсего четыре действия (операции). Если некто не знает одного, скажем, вычитания, или его свойств, то правомерно утверждение, что некто вообще не знает арифметики. Не взирая на лица и авторитеты (Платон мне друг, но истина дороже): Риман не знал арифметики.

----------------------------------------------------------------------

Тема находится по адресу:
http://forum.cnews.ru/index.php?showtopic=70932